1設計方法

　　1.1實驗設計方法及響應面近似模型的建立

　　實驗設計方法是用來研究設計參數對模型設計狀況影響的一種取樣策略。實驗設計是構建近似模型過程中的重要環節，決定了構造近似模型所需樣本點的個數和這些點的空間分布情況。

　　文中采用中心復合設計法（CCDs）進行實驗設計，該方法*早由Box和Wilson于1951年提出。由于這種設計方法具有序貫性、預測效率較高等特點，在實際設計中已得到廣泛應用。采用中心復合設計法能夠在提供較少的實驗次數下，充分考慮實驗設計變量之間的相互影響關系。

　　近似模型通過數理統計和實驗設計的方法，在設計變量和響應之間建立一種函數關系，用來近似復雜的實際問題。常用的近似模型有多項式響應曲面、徑向基函數模型、Kriging模型等。響應面法是用于處理多變量問題建模和分析的一套統計處理方法，能夠在不確定數據集趨向于何種曲線時，對整個數據集進行整體的擬合，能夠很好地解決在多個設計變量同時作用下目標的優化問題。因此文中選擇建立響應面近似模型進行優化求解。

　　1.2優化流程

　　優化流程圖如1所示，首先根據實際問題確定設計變量及其變化空間，利用中心復合設計法進行實驗設計，根據實驗設計結果進行樣本點采集；然后對各組樣本集合進行有限元分析，得到結構的響應。通過擬合設計變量和系統響應之間的函數關系建立二階響應曲面，在響應面上進行尋優求解。通過自由隨機法，根據建立的多目標優化問題的數學模型，在整個二階響應曲面上初步尋找*優解，再以自由隨機法尋找的*優解為新的樣本空間，利用遺傳算法反復迭代求解，進行進一步的尋優，驗證*優解的真值。如果滿足精度要求，優化求解過程結束，如果不滿足則修正響應曲面進一步迭代求解。響應曲面的精度直接影響結果的優劣，文中要求擬合的近似模型的誤差值在1%以內。

　　1.3多目標優化問題的處理方法

　　在優化設計中經常遇到的是多目標優化問題。對于多目標優化的處理方法，主要有評價函數法、分層求解法、目標規劃法。評價函數法借助構造某種適當的評價函數，將多目標問題轉化為單目標問題來求解。

　　折衷法是評價函數的一種處理方法，它的基本思想是設計者選取多目標中的一個作為目標函數進行優化，而把其他目標函數視作可以變通的約束，設置一個不希望超過或小于的值，把多目標問題轉化為單目標問題進行優化。

　　文中采用折衷法對床（）身結構進行優化設計，優化模型為：

　　max k（1）s.t.

　　f－［f］［f］≤εX l i≤X i≤X u i（i = 1，2，…，n）

　　式中：ε???在優化過程中允許床身基頻的改變量；k???機床剛度；［f］???原床身結構的基頻；f???優化后床身結構的基頻；X i???設計變量；X u i，X l i???設計變量的上下限。

　　式（1）表明尋求設計變量X i（i = 1，2，…，n）的*優值，使結構在基頻接近原結構的約束條件下，結構剛度*大。

　　1.4優化算法

　　遺傳算法是一種借鑒生物界自然選擇和進化發展起來的高度并行、隨機、自適應搜索算法。它使用了群體搜索技術，將種群代表一組問題解，通過對當前種群施加選擇、交叉和變異等一系列遺傳操作，產生新一代的種群，并逐步使種群進化到包含近似*優解的狀態。利用遺傳算法求解優化模型能夠解決任意維數函數的組合優化問題，能夠找到響應面中的全局*優解，同時遺傳算法能夠很好地解決離散變量的問題。遺傳算法求解流程圖如2所示。

　　2算例

　　2.1研究對象

　　某型號外圓磨床床身由灰鑄鐵鑄造而成。床身長2 900 mm、寬1 170 mm、高707 mm，壁厚15 mm.前床身上有V－平型導軌，導軌總長2 800 mm，前床身內部有8塊橫隔板和1塊水平橫向筋板。后床身分別有2塊橫、縱隔板。床身內部的橫隔板厚度為15 mm，床身底面由11塊墊鐵支撐。原床身上設置了多個出砂孔，有限元分析結果顯示原床身結構的剛度為1.64×10 5N/mm，基頻為212.8 Hz.為了進行優化設計，將床身內部的出砂孔全部填上，設計初始模型對其進行有限元分析，床身剛度為1.68×10 5N/mm，基頻為214 Hz.

　　2.2設計變量

　　床身內部橫隔板的間距（x 1，x2，x 3，x 4），橫隔板的厚度x 5及墊鐵的間距（x 6，x7，x8）為設計變量，研究它們對床身結構性能的影響，設計變量如4所示。

　　2.3優化求解

　　利用所示的優化過程進行優化求解，各變量的設計空間如所示。利用中心復合設計法生成81組實驗設計所需的設計變量的樣本點，利用有限元法分析每組設計變量與基頻、剛度響應之間的關系。借助*小二乘法，根據實驗設計的結果，分別構造基頻和剛度與設計變量之間的二階響應曲面，兩個響應曲面的*大相對殘差分布為0.61%和0.74%，因此近似模型滿足精度的要求，能夠代替實際模型進行優化求解。采用折衷法按照式（1）進行多目標優化問題處理，利用遺傳算法對優化問題進行求解。

　　設計變量的設計空間設計變量/mm取值范圍/mm初始值/mm x 1 200～400 250 x 2 400～600 575 x 3 700～1 100 950 x 4 200～400 250 x 5 12～15 15 x 6 700～1 200 873 x 7 700～900 870 x 8 200～900 500

　　2.4優化結果

　　優化后的結果如2所示，剛度由原來的1.68×105 N/mm增加到1. 73×105N/mm，上升了3.04%，基頻由原來的214 Hz減小到212.8 Hz，降低了0.56%.

　　2優化前后床身結構動靜態性能比較設計變量/mm優化前優化后剛度/（N/mm）基頻/Hz優化前優化后優化前優化后x 1 250 345 x 2 575 441 x 15 x 500 213

　　3拓撲優化

　　床身結構需要在合理的位置開出砂孔，一方面方便鑄造過程的出砂，另一方面也可減輕床身質量。出砂孔的位置必須保證在開孔后，結構的剛度和基頻滿足床身的設計要求。結構拓撲優化能在給定的空間結構中形成合理的材料分布。文中采用密度法對床身結構進行優化設計，以得到合理的出砂孔位置。人為引進了一種假想的密度可變材料，每個單元的偽密度為設計變量，將結構拓撲優化問題轉化為材料*優分布設計問題，應用優化準則法求解材料*優分布。拓撲優化數學模型為：max K（2）s.t 0＜βi≤1 M≤M limit式中：K???剛度；βi???單元i的偽密度；M???結構撲優化后的質量；M lmit???設定的優化后結構質量。

　　設定優化后床身質量下降10%，運用密度法對床身結構進行拓撲優化，優化后的拓撲圖如所示。圖中灰色代表床身材料可以刪除的地方，但灰色材料僅僅表示理論上可以刪除，到底是否刪除該處材料需要結合床身結構的實際需要。如床身油箱地方材料雖可以刪除，但不能通過開孔刪除，可以選擇減小壁厚的方法，達到減輕質量的目的。而一些結構通過拓撲圖顯示材料要保留，但實際床身結構需要開一些孔，只能適當地刪除一些材料來滿足實際的要求。結合床身結構拓撲圖和床身結構的實際需要，在床身內部水平橫隔板和床身底面開出適當的出砂孔，并減小床身底面壁厚，床身結構刪除材料后的結構如6所示。

　　對優化后的結構進行有限元分析，優化后床身結構性能如所示。床身結構的剛度為1.74×10 5N/mm，比原床身結構的剛度值大了1×10 4N/mm，增加了5.8%.雖然基頻為204.5 Hz，比原床身結構的基頻下降7.3 Hz，但整個床身質量由原來的1 496.6 kg降到1 424. 3 kg減輕了4.83%.

　　3拓撲優化前后床身結構性能比較床身結構剛度/（N/mm）基頻/Hz質量/kg優化前1. 64×10 5 212.8 1 496.6優化后1. 74×10 5 205.5 1 424.3變化量5.8%（+）3.43%（－）4.83%（+）注：+表示上升；－表示下降

　　4結語

　　采用實驗設計和近似模型方法對床身內部橫隔板間距、橫隔板的厚度、墊鐵位置進行了優化設計。在確定了橫隔板間距和墊鐵位置及橫隔板厚度后，采用密度法對床身結構進行拓撲優化設計，確定了合理的出砂孔位置。研究表明：這樣的優化策略不僅可有效地提高床身的機械性能，并且有較高的設計效率。以某型號磨床床身為例對所提出的方法進行了驗證。優化后床身結構剛度增加了5.8%，床身質量減輕了4.83%.